한나야, 4회 모의고사에서 풀이 방향은 너무나 훌륭했어! $\frac{1}{2}$ 곱하기, 단계별 뺄셈 검산, 대칭 일직선화 등 끝마무리 셈에서 1~2 차이로 아쉽게 빗나갔던 5문제를 완벽히 내 것으로 만드는 10제 클리닉이야. 한 문제씩 차분하게 풀고 바로바로 확인해보자!
1번 문제 (HN-CL01)13번 쌍둥이 · 직각삼각형의 합동
$\angle \mathrm{C} = 90^\circ$인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle \mathrm{B}$의 이등분선이 변 $\mathrm{AC}$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하고, 점 $\mathrm{D}$에서 변 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{E}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}} = 15\text{ cm},\ \overline{\mathrm{CD}} = 6\text{ cm}$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이를 구하시오.
💬 선생님 피드백: 각의 이등분선 위의 점에서 변에 내린 거리가 같다는 성질($\overline{\mathrm{DE}} = 6\text{ cm}$)을 잡고, $15 \times 3 = 45$로 먼저 약분해서 계산하면 실수가 전혀 나오지 않아!
2번 문제 (HN-CL02)13번 유사 · 직각삼각형의 합동
$\angle \mathrm{C} = 90^\circ$인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle \mathrm{A}$의 이등분선이 변 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하고, 점 $\mathrm{D}$에서 변 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{E}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}} = 14\text{ cm},\ \overline{\mathrm{CD}} = 4\text{ cm}$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이를 구하시오.
넓이가 $100\text{ cm}^2$인 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 내부의 한 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\triangle \mathrm{PBC} = 32\text{ cm}^2$이다. 좌우 두 삼각형 넓이의 합이 전체 넓이의 절반일 때, 삼각형 $\mathrm{PDA}$의 넓이를 구하시오.
① 9 cm²
② 14 cm²
③ 18 cm²
④ 24 cm²
⑤ 36 cm²
[바른 풀이]
1. 평행사변형 내부의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\triangle \mathrm{PBC} + \triangle \mathrm{PDA} = 100 \div 2 = 50\text{ cm}^2$입니다.
2. 따라서 $\triangle \mathrm{PDA} = 50 - 32 = 18\text{ cm}^2$입니다.
*(주의: $18$에서 $2$로 또 나누지 않고 바로 답으로 작성합니다!)*
💬 선생님 피드백: $50 - 32 = 18$이 바로 답이야! 이미 공식에서 '전체의 절반'을 썼기 때문에 나온 결과를 또 나누지 않고 그대로 쓰는 연습 완료!
4번 문제 (HN-CL04)24번 유사 · 평행사변형의 성질
평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 내부의 한 점 $\mathrm{P}$에 대하여 상하 두 삼각형 넓이의 합 $\triangle \mathrm{PAB} + \triangle \mathrm{PCD} = 42\text{ cm}^2$이다. 좌우 삼각형 중 $\triangle \mathrm{PBC} = 22\text{ cm}^2$일 때, 삼각형 $\mathrm{PDA}$의 넓이를 구하시오.
① 10 cm²
② 15 cm²
③ 20 cm²
④ 25 cm²
⑤ 30 cm²
[바른 풀이]
1. 상하 두 삼각형 넓이의 합은 좌우 두 삼각형 넓이의 합과 같습니다.
2. $42 = 22 + \triangle \mathrm{PDA}$이므로 $\triangle \mathrm{PDA} = 42 - 22 = 20\text{ cm}^2$입니다.
💬 선생님 피드백: 상하 합 = 좌우 합 성질을 써서 $20\text{ cm}^2$에서 자신 있게 멈추는 멋진 감각! 완벽해!
5번 문제 (HN-CL05)25번 쌍둥이 · 종이 접기 이등변삼각형
직사각형 모양의 종이를 접었을 때 생기는 겹쳐진 부분인 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 밑각이 같아 이등변삼각형이다. 밑변 $\mathrm{BC}$의 길이가 $12\text{ cm}$이고 높이가 $8\text{ cm}$일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 구하시오.
💬 선생님 피드백: '삼각형 넓이는 무조건 식 맨 앞에 $\dfrac{1}{2}$부터 쓰고 시작하기!' 잊지 않았지? $48\text{ cm}^2$ 정답!
6번 문제 (HN-CL06)25번 유사 · 종이 접기 이등변삼각형
직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 변 $\mathrm{AD}$와 $\mathrm{BC}$를 가로지르는 선분 $\mathrm{EF}$를 접는 선으로 하여 접었다. 겹쳐진 부분인 삼각형 $\mathrm{PEF}$에서 밑변 $\mathrm{EF}$의 길이가 $16\text{ cm}$이고 높이가 $7\text{ cm}$일 때, 삼각형 $\mathrm{PEF}$의 넓이를 구하시오.
💬 선생님 피드백: 먼저 약분해서 $8 \times 7 = 56\text{ cm}^2$로 직행하는 깔끔한 풀이법, 손에 완벽히 익혔어!
7번 문제 (HN-CL07)27번 쌍둥이 · 정사각형 내접 도형
한 변의 길이가 $12\text{ cm}$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 네 모퉁이에 넓이가 각각 $16.5\text{ cm}^2$인 합동인 네 직각삼각형을 제외하여 안쪽에 정사각형 $\mathrm{EFGH}$를 만들었다. 정사각형 $\mathrm{EFGH}$의 넓이를 구하시오.
💬 선생님 피드백: $4 \times 16.5 = 66$을 먼저 적고, $144 - 66 = 78$로 끝까지 차분하게 뺄셈 검산을 완료했네! 아주 훌륭해!
8번 문제 (HN-CL08)27번 유사 · 정사각형 내접 도형
한 변의 길이가 $8\text{ cm}$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 네 변 위에 직각을 낀 두 변의 길이가 $3\text{ cm}, 5\text{ cm}$인 직각삼각형 4개를 모퉁이에 만들었다. 이 4개의 직각삼각형을 제외한 안쪽 사각형의 넓이를 구하시오.
① 28 cm²
② 30 cm²
③ 34 cm²
④ 38 cm²
⑤ 42 cm²
[바른 풀이]
1. 전체 넓이 $= 8 \times 8 = 64\text{ cm}^2$입니다.
2. 모퉁이 삼각형 1개 $= \dfrac{1}{2} \times 3 \times 5 = 7.5\text{ cm}^2$, 4개 합 $= 4 \times 7.5 = 30\text{ cm}^2$입니다.
3. 안쪽 넓이 $= 64 - 30 = 34\text{ cm}^2$입니다.
직선 $l$을 경계로 같은 쪽에 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$가 있습니다. 직선 $l$ 위의 움직이는 점 $\mathrm{P}$에 대하여 선분의 합 $\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PB}}$가 최소가 되도록 하려고 합니다. 점 $\mathrm{A}$를 직선 $l$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A'}$이라 할 때, $\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PB}}$의 최솟값과 항상 같은 선분은?
💬 선생님 피드백: '꺾인 선을 대칭점으로 펴서 일직선 선분 만들기!' 대칭 최단거리의 핵심 원리를 완벽히 꿰뚫었어!
10번 문제 (HN-CL10)29번 유사 · 대칭이동 최단거리 수치 해결
정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 대각선 $\mathrm{BD}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$가 있다. 변 $\mathrm{AD}$ 위의 점 $\mathrm{F}$를 대각선 $\mathrm{BD}$에 대칭이동한 점을 $\mathrm{F'}$이라 하면 $\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PF'}}$이다. 변 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{E}$에 대하여 선분의 합 $\overline{\mathrm{PE}} + \overline{\mathrm{PF}}$의 최솟값이 선분 $\mathrm{EF'}$의 길이와 같을 때, $\overline{\mathrm{EF'}} = 15\text{ cm}$라면 최솟값은?
① 13 cm
② 14 cm
③ 15 cm
④ 16 cm
⑤ 17 cm
[바른 풀이]
1. 점 $\mathrm{P}$가 대각선 위에 있으므로 $\overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PF'}}$입니다.
2. $\overline{\mathrm{PE}} + \overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{PE}} + \overline{\mathrm{PF'}} \ge \overline{\mathrm{EF'}}$이므로 최솟값은 선분 $\overline{\mathrm{EF'}}$의 길이인 $15\text{ cm}$입니다.
💬 선생님 피드백: 대칭점을 곧게 이은 선분 $\overline{\mathrm{EF'}}$의 길이가 곧 최솟값! 망설임 없이 $15\text{ cm}$를 선택하는 이 명쾌함! 10제 완주를 축하해!