인서야! 선생님이 지난번 약속했던 「인서의 수학 ②」를 준비했어. 지난 1편에서 선생님이 잘못 만들었던 문제들을 솔직하게 인정하고 같이 돌아봤었지? 이번에는 인서가 아깝게 놓쳤던 오답 3제의 쌍둥이 문항과, 제대로 고쳐진 결함 8제 복원 문제, 그리고 인서가 가장 어려워했던 취약 3대 소단원(평행선·각·다각형) 집중 9제를 문제를 그대로 옮겨 실어 준비했단다.
지난 시험에서 인서가 보여준 태도는 정말 대단했어. 모르는 것은 절대 찍지 않고 솔직하게 '모름'이라고 적었고, 이상한 문제는 '각도가 어디 있냐'고 정확히 짚어냈지. 게다가 2번 문제처럼 그림이 아예 없던 입체도형도 인서가 직접 연필로 삼각기둥을 그려서 맞혔어!
수학을 잘하는 비결은 공식을 달달 외우는 게 아니라, '내가 무엇을 알고 무엇을 모르는지'를 분명히 아는 것에서 시작해. 인서는 이미 그 가장 소중한 힘을 가지고 있어.
💡 모든 문제는 먼저 스스로 풀어보고, 아래 초록색 「선생님 풀이 보기」를 눌러서 확인해 봐!
인서가 틀렸던 5번, 11번, 18번은 개념을 몰라서 틀린 게 아니었어. 마지막 조건 하나를 놓쳤거나, 식을 한 줄에 엮지 못했을 뿐이야. 쌍둥이 문제로 완벽하게 내 것으로 만들자!
💡 선생님의 코칭 한마디 : 꺾인 각 \(\angle\mathrm{APB} = 30^\circ + 70^\circ = 100^\circ\) 를 구한 다음, 반각 \(50^\circ\) 에서 \(30^\circ\) 를 빼면 \(20^\circ\) 가 나와! 문제에서 '예각(\(< 90^\circ\))'을 물었으니 \(80^\circ\) 가 아닌 \(20^\circ\) 를 정확히 고르는 연습이야!
1. 점 P를 지나고 두 직선 \(l, m\) 에 평행한 보조선을 긋습니다.
2. 엇각의 성질에 의해 \(\angle\mathrm{APB} = 30^\circ + 70^\circ = 100^\circ\) 입니다.
3. 각의 이등분선이므로 반각은 \(100^\circ \div 2 = 50^\circ\) 입니다.
4. 보조선과 이등분선이 이루는 각은 \(50^\circ - 30^\circ = 20^\circ\) 이며, 보조선이 \(l\) 과 평행하므로 직선 \(l\) 과 이루는 예각도 \(20^\circ\) 입니다.
💡 선생님의 코칭 한마디 : 꺾인 점 P와 Q 두 곳에 보조선을 그어봐. P에서 오른쪽 아래 각은 \(75^\circ - 25^\circ = 50^\circ\) 가 되고, Q에서 엇각으로 \(50^\circ\) 가 넘어가니 \(\angle\mathrm{PQB} = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ\) 가 돼. 반각 \(45^\circ\) 에서 \(40^\circ\) 를 빼면 예각은 바로 \(5^\circ\) 야!
1. 점 P와 Q에 각각 직선 \(l, m\) 과 평행한 보조선을 긋습니다.
2. 점 P에서 엇각 \(25^\circ\) 를 빼면 아래쪽 각은 \(75^\circ - 25^\circ = 50^\circ\) 입니다.
3. 점 Q로 엇각 \(50^\circ\) 가 전달되므로 \(\angle\mathrm{PQB} = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ\) 입니다.
4. 이등분선의 반각은 \(90^\circ \div 2 = 45^\circ\) 이며, 직선 \(m\) 과 이루는 예각은 \(45^\circ - 40^\circ = 5^\circ\) 입니다.
💡 선생님의 코칭 한마디 : 인서야! 1:2 와 2:1 은 따로 떼어놓지 말고 하나의 문자 \(a\) 로 한 줄에 올려놓아야 해. \(\mathrm{AB}=a\) 라 두면 \(\mathrm{BC}=2a\), 그리고 C가 BD를 2:1로 나누니 \(\mathrm{CD}=a\) 가 돼. 전체 \(\mathrm{AD} = 4a = 28\) 이니 \(a=7\)! \(\mathrm{MN} = 3.5 + 14 + 3.5 = 21\text{ cm}\) 로 깔끔하게 풀리지?
1. \(\overline{\mathrm{AB}} = a\) 로 두면, B가 AC를 1:2로 나누므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 2a\) 입니다.
2. 점 C가 \(\overline{\mathrm{BD}}\) 를 2:1로 나누므로 \(\overline{\mathrm{CD}} = a\) 입니다.
3. 전체 \(\overline{\mathrm{AD}} = a + 2a + a = 4a = 28\text{ cm}\) 에서 \(a = 7\text{ cm}\) 입니다.
4. 따라서 \(\overline{\mathrm{AB}}=7\), \(\overline{\mathrm{BC}}=14\), \(\overline{\mathrm{CD}}=7\) 입니다.
5. \(\overline{\mathrm{MN}} = \frac{7}{2} + 14 + \frac{7}{2} = 3.5 + 14 + 3.5 = 21\text{ cm}\) 입니다.
💡 선생님의 코칭 한마디 : 이번엔 1:3 과 3:2 야! \(\mathrm{AB}=k\) 라 두면 \(\mathrm{BC}=3k\), C가 BD를 3:2로 나누니 \(\mathrm{CD}=2k\) 가 되어 \(\mathrm{AD} = k + 3k + 2k = 6k = 36 \to k=6\) 이야. \(\mathrm{MN} = 3 + 18 + 6 = 27\text{ cm}\)! 비율이 바뀌어도 원리는 똑같아.
1. \(\overline{\mathrm{AB}} = k\) 로 설정하면 \(\overline{\mathrm{BC}} = 3k\) 입니다.
2. C가 BD를 3:2로 나누므로 \(\overline{\mathrm{CD}} = 2k\) 입니다.
3. \(\overline{\mathrm{AD}} = 6k = 36\text{ cm}\) 이므로 \(k = 6\text{ cm}\) 입니다.
4. \(\overline{\mathrm{MB}} = 3\text{ cm}\), \(\overline{\mathrm{BC}} = 18\text{ cm}\), \(\overline{\mathrm{CN}} = 6\text{ cm}\) 입니다.
5. \(\overline{\mathrm{MN}} = 3 + 18 + 6 = 27\text{ cm}\) 입니다.
💡 선생님의 코칭 한마디 : 인서야, 정다각형 문제는 언제나 외각을 먼저 구하는 게 지름길이야! 내각 \(I\) 와 외각 \(E\) 의 합은 항상 \(180^\circ\) 이고, 차가 \(120^\circ\) 이니까 두 식을 빼면 \(2E = 60^\circ \to E = 30^\circ\)! 외각의 합은 늘 \(360^\circ\) 이니까 \(360 \div 30 = 12\), 즉 정십이각형이야!
1. 내각 \(I\) 와 외각 \(E\) 는 평각을 이루므로 \(I + E = 180^\circ\) 입니다.
2. 문제 조건에서 \(I - E = 120^\circ\) 입니다.
3. 두 식을 빼면 \(2E = 60^\circ\) 에서 한 외각 \(E = 30^\circ\) 입니다.
4. 모든 정다각형 외각의 합은 \(360^\circ\) 이므로 변의 개수 \(n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12\) 입니다.
💡 선생님의 코칭 한마디 : 내각과 외각의 비가 4:1이면 전체 5등분 중 외각이 1몫이야. \(180^\circ \times \frac{1}{5} = 36^\circ\) 가 외각이지. 내각은 \(144^\circ\) 니 차는 \(108^\circ\)! 그리고 변의 개수는 \(360 \div 36 = 10\) 개! 따라서 \(108 + 10 = 118\) 이야.
1. 내각과 외각의 합이 \(180^\circ\) 이고 비가 4:1이므로 외각은 \(180^\circ \times \frac{1}{5} = 36^\circ\) 입니다.
2. 한 내각은 \(144^\circ\) 이므로 차 \(D = 144 - 36 = 108^\circ\) 입니다.
3. 변의 개수 \(N = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10\) 입니다.
4. 따라서 \(D + N = 108 + 10 = 118\) 입니다.
인서가 시험지를 풀며 "각도가 어디 있어요?", "직선 방향이 어디예요?" 하고 물었던 8문제야. 선생님이 빠뜨렸던 그림과 각도를 깨끗하게 복원했으니, 이제 온전한 문제로 당당하게 풀어보자!
💡 복원 포인트 : 이제 모서리 AD가 어디인지 선명하게 보이지? \(\overline{\mathrm{AD}}\) 와 만나지도 않고 평행하지도 않은 모서리는 밑면의 \(\overline{\mathrm{BC}}\) 와 \(\overline{\mathrm{EF}}\) 2개뿐이야!
💡 복원 포인트 : 이등분선과 평행선의 엇각 성질에 의해 \(\triangle\mathrm{ABC}\) 는 \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{BC}}\) 인 이등변삼각형이 돼! 따라서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 7\text{ cm}\) 야.
💡 복원 포인트 : "직선 방향?" 하고 물었던 인서의 지적이 100점이었어! 직선이 정사각형 외부를 지나도록 확정하면, \(\triangle\mathrm{ABE} \equiv \triangle\mathrm{DAF}\) (RHA 합동)이 되어 \(\overline{\mathrm{AF}}=5\), \(\overline{\mathrm{AE}}=7\) 이므로 \(\overline{\mathrm{EF}} = 7 + 5 = 12\text{ cm}\) 가 확실해져.
평행선(3제), 각(2제), 다각형(4제) — 인서가 "모름"으로 비워두었던 대표 유형들을 단 9문제로 압축해 완벽하게 꿰뚫는 특훈 세트야!
💡 원리 : 평행선 사이의 지그재그 선은 (왼쪽 각들의 합) = (오른쪽 각들의 합) 이야! \(2x + 3x = 4x + 25^\circ \to 5x = 4x + 25 \to x = 25\) 로 3초 만에 풀 수 있어!
💡 원리 : 분침은 1분에 \(6^\circ\), 시침은 1분에 \(0.5^\circ\) 움직여. 4시 정각에 시침은 \(120^\circ\) 에 있으니, 방정식은 \(6x = 120 + 0.5x \to 5.5x = 120 \to \frac{11}{2}x = 120 \to x = \frac{240}{11}\) 이야!
💡 원리 : 인서가 20번에서 바르게 썼던 대각선 총수 공식 \(\frac{n(n-3)}{2} = 20 \to n(n-3) = 40 = 8 \times 5\) 로 \(n=8\)(팔각형)임을 찾고, 한 꼭짓점 대각선 수인 \(n-3 = 8-3 = 5\) 개를 구하면 완벽해!
인서야, 모르는 것을 두려워하지 않고 솔직하게 마주하는 네 태도는 이미 최고의 수학자가 될 자격을 갖추었어. 이제 결함 없는 깨끗한 문제 위에서 네 진짜 실력을 마음껏 펼쳐보렴. 선생님이 항상 네 한 걸음 한 걸음을 응원할게!