인서야. 선생님이 네가 푼 30문제를 한 문제도 빼지 않고 처음부터 끝까지 다시 풀어 봤어. 이번에는 문제를 그대로 옮겨 실었어. 종이를 찾지 않아도 여기서 바로 읽고 풀어 볼 수 있어.
그 시험지는 선생님이 잘못 만든 곳이 있었어. 그림에 있어야 할 각도가 통째로 지워져 있었고, 어떤 문제는 그림 자리가 아예 비어 있었어. 8문제는 선생님도 못 풀어. 그건 네 실력과 아무 상관이 없는 일이야. 아래 ⚠️ 칸에 어디가 잘못됐는지 하나씩 적어 뒀어.
풀이는 접어 두었어. 먼저 스스로 풀어 보고, 그 다음에 「풀이 보기」를 눌러.
💡 인서가 고른 ④ 80° 는 예각이 아니야. 문제가 마지막에 「예각의 크기」라고 못박아 뒀어. 보조선을 그어 40° 와 60° 를 갈라 놓은 다음, 구한 각이 예각인지 한 번 더 보는 것이 이 문제의 끝이야.
평행선 엇각 성질에 의해 꺾인 각 ∠APB = 40° + 60° = 100° 입니다.
각의 이등분선에 의해 나뉜 반각은 100° / 2 = 50° 입니다.
직선 l과 평행한 보조선을 그으면 이등분선이 이루는 각은 50° - 40° = 10° 입니다.
따라서 구하는 예각의 크기는 10° 입니다.
💡 1:2 와 2:1 을 따로따로 쓰면 답이 안 맞아. 한 줄 위에 함께 놓아야 해. AB=a 로 두면 BC=2a 이고, C가 BD를 2:1 로 나누니까 CD=a 야. 그래서 AD=4a=24 → a=6.
AB = a 라 하면 BC = 2a 이고, C가 BD를 2:1로 나누므로 CD = a 입니다.
AD = a + 2a + a = 4a = 24 cm 에서 a = 6 cm 입니다.
AB = 6 cm, BC = 12 cm, CD = 6 cm 입니다.
MN = (6/2) + 12 + (6/2) = 3 + 12 + 3 = 18 cm 입니다.
따라서 선분 MN의 길이는 18 cm 입니다.
💡 인서가 고른 ⑤ 는 정십각형이야. 정십각형은 한 외각이 36° 라서 내각과의 차가 108° 가 돼. 차가 100° 가 되려면 외각이 40° 여야 하고, 360÷40=9 — 정구각형이야.
정다각형의 한 내각의 크기를 \(I\), 한 외각의 크기를 \(E\) 라 하면 \(I + E = 180^\circ\) 입니다.
조건에서 \(I - E = 100^\circ\) 입니다.
두 식을 변끼리 빼면 \(2E = 80^\circ\) 이므로 한 외각의 크기는 \(E = 40^\circ\) 입니다.
외각의 총합이 \(360^\circ\) 이므로 변의 개수는 \(n = \frac{360^\circ}{40^\circ} = 9\), 즉 정구각형입니다.
따라서 구하는 변의 개수는 \(9\) 입니다.
되짚어 보면 한 내각이 \(140^\circ\), 한 외각이 \(40^\circ\) 로 차가 \(100^\circ\) 이며 \(n = 9\) 가 완전히 성립함을 점검할 수 있습니다.
주의 — 외각 40°로부터 변의 개수 \(9\) 를 정확히 도출해야 합니다.
여기 둘은 시작을 옳게 했어. 끝까지 못 갔을 뿐이야. 수학에서는 첫 걸음을 옳게 떼는 것이 가장 어려워.
💡 n=6 까지 간 것은 옳았어. 거기서 「옆면 하나에 대각선 2개」를 곱하면 2n 이야. 나머지 물음(위치 관계·평행한 쌍)은 아래 풀이를 같이 보자.
옆면이 \(n\) 개이고 각 면에 대각선을 2 개씩 그으므로 모두 2n 개다.
같은 옆면에 그은 두 대각선을 보자. 둘은 같은 평면 위에 있고 직사각형의 한가운데에서 만난다.
이웃한 두 옆면의 대각선은 어떤가. 두 면은 하나의 옆모서리를 함께 가진다.
두 대각선이 그 공통 모서리의 같은 끝점에서 출발하면 거기서 만나고, 다른 끝점에서 출발하면 만나지 않는다 — 경우를 나누어 봐야 한다.
만나지 않는 쪽은 같은 평면 위에 있지도 않으므로 꼬인 위치다.
이제 평행한 쌍을 찾는다. 두 대각선이 평행하려면 방향이 같아야 한다.
옆면을 펼쳐 놓고 보면 각 대각선의 방향은 「그 면의 밑변 방향」과 「높이 방향」을 더한 것이다. 밑변 방향은 면마다 다르다.
그러므로 두 대각선이 평행하려면 두 옆면의 밑변이 평행해야 한다.
밑면이 정\(n\) 각형일 때 마주 보는 변이 평행한 것은 n 이 짝수일 때뿐이다.
[\(n\) 이 홀수] 어느 두 옆면의 밑변도 평행하지 않으므로 평행한 대각선 쌍은 0쌍이다.
[\(n\) 이 짝수] 마주 보는 옆면이 \(\dfrac{n}{2}\) 쌍 있고, 각 쌍마다 대각선이 2 개씩 있어 평행한 짝이 2 쌍씩 생긴다.
곧 평행한 쌍은 \(\dfrac{n}{2} \times 2 = n\) 쌍이다.
사각기둥(\(n = 4\))으로 확인하자. 마주 보는 옆면이 2 쌍, 각 쌍마다 2 쌍이므로 4 쌍 — 식이 맞다.
⚠️ 함정은 「같은 면의 두 대각선이 서로 평행하다」고 여기는 잘못이다. 직사각형의 두 대각선은 서로 만난다. 평행은 다른 면의 것끼리 생긴다.
💡 CA=18cm 까지 정확히 갔어. PQ 가 CA 의 절반이라는 것을 찾아낸 거야. 뒤의 두 물음은 세 점을 수로 놓고 식을 세우면 풀려.
세 점이 한 직선 위에 있으므로 자리를 수로 옮겨 놓을 수 있다. 이렇게 두면 중점은 두 수의 평균이 되어 방정식으로 다룰 수 있다.
직선 위에서 점 \(A\) 의 자리를 a , B 를 b , C 를 c 라 하자. 이렇게 두면 중점은 두 수의 평균이 된다.
\(P = \dfrac{a+b}{2}\) , Q = \(\dfrac{b+c}{2}\) , R = \(\dfrac{c+a}{2}\) 이다.
\(\overline{PQ}\) 를 구하면 |\(\dfrac{b+c}{2}\) - \(\dfrac{a+b}{2}\)| = |\(\dfrac{c-a}{2}\)| 이다.
곧 \(\overline{PQ}\) 는 \(\overline{CA}\) 의 절반이다. b 가 깨끗이 지워지는 것이 눈에 띈다.
따라서 \(\overline{CA} = 2 \times 9 = 18\,\text{cm}\) 이다.
이제 두 번째 물음이다. 세 식을 더하면 \(P + Q + R = \dfrac{2(a+b+c)}{2} = a+b+c\) 이다.
여기서 \(Q = \dfrac{b+c}{2}\) 이므로 b + c = 2Q 이다.
그러므로 \(a = (a+b+c) - (b+c) = (P+Q+R) - 2Q = P + R - Q\) 이다.
같은 방법으로 \(b = P + Q - R\) , c = Q + R - P 를 얻는다.
세 식이 모두 \(P\) · Q · R 만으로 쓰였으므로 원래의 세 점을 하나로 되찾을 수 있다.
⚠️ 함정은 \(\overline{PQ}\) 를 \(\overline{AC}\) 가 아니라 \(\overline{AB}\) 나 \(\overline{BC}\) 와 이으려는 잘못이다. 식을 세워 보면 지워지는 문자가 b 라서 남는 것이 c - a , 곧 \(\overline{CA}\) 임을 알 수 있다.
마지막 물음이다. 차례를 바꾸면 세 중점이 어떻게 되는지 경우를 나누어 본다. \(A\) 와 C 를 맞바꾸면 P 와 Q 가 서로 자리를 바꾸고 R 는 그대로다.
곧 세 중점의 모임은 같지만 어느 것이 \(P\) 인가는 달라진다. 이름표까지 같으려면 a = c 여야 하는데, 그러면 두 점이 겹쳐 서로 다른 세 점이 아니다.
따라서 서로 다른 세 점에서 같은 \(P\) · Q · R 가 나오는 경우는 존재하지 않는다. 이는 세 점의 차례에 대하여 대응이 하나뿐이라는 뜻이다.
덧붙이면 \(A\) 와 C 를 맞바꾸는 것은 가운데 점 Q 를 기준으로 한 대칭과 같다. 그래서 R 만 제자리에 남는다.
모르면 「모름」이라고 적은 것, 그게 가장 잘한 일이야. 찍어서 맞히면 무엇을 모르는지 선생님도 너도 알 수가 없어. 이제 하나씩 같이 보자.
인서가 종이에 적은 말 — “정사각형이면 대각선을 그으면 ∠CBA는 45°가 되어야 한다. 그러면 ∠ㄴ이 40°이므로 ∠ADC는 45° 아니야?”
정육면체의 전개도를 접어서 정육면체를 완성했을 때의 위치 관계를 생각합니다.
전개도를 접으면 점 \(\mathrm{A}\) 는 정육면체의 한 꼭짓점 \(V_1\) 이 됩니다.
동일하게 점 \(\mathrm{B}\) 는 꼭짓점 \(V_3\) 에 대응되고, 점 \(\mathrm{C}\) 는 꼭짓점 \(V_6\) 에 대응됩니다.
이 접힌 꼭짓점 세 개를 각각 선분으로 연결하는 세 보조선 \(\mathrm{AB, BC, CA}\) 를 그어 삼각형을 만듭니다.
각 선분은 정육면체의 서로 다른 세 면의 대각선이 됨을 알 수 있습니다.
정육면체의 모든 면은 서로 합동인 정사각형이므로, 모든 면의 대각선의 길이도 항상 같습니다.
따라서 세 변의 길이인 \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CA}}\) 가 성립합니다.
세 변의 길이가 같은 삼각형 \(\mathrm{ABC}\) 는 정삼각형이 되며, 평행이나 대칭 관계를 만족하는 구조를 가집니다.
정삼각형의 한 내각의 크기는 60도이므로, 구하는 각 \(\angle\mathrm{ABC}\) 의 크기는 60입니다.
⚠️ 주의 — 전개도에서 멀리 떨어진 두 점이 접었을 때 한 꼭짓점에서 겹치므로, 서로 다른 점으로 오해하여 둔각으로 계산하지 않도록 주의합니다.
참고: 전개도를 입체로 접었을 때의 공간 점 대응을 머릿속에서 구상하여 보조선(대각선)들을 직접 떠올려야 하므로 , 전개도 추론과 정삼각형 성질을 융합한 한 단계 비튼 고난도 유형 입니다.
주의 — 구한 값을 물음이 묻는 것과 다시 견주어 보십시오. 도중에 구한 값을 그대로 답으로 쓰기 쉽습니다.
시계의 12시 정각의 위치를 기준선 \(0^\circ\)로 둡니다.
분침은 1분에 \(6^\circ\)씩 움직이므로 2시 \(x\)분에서 분침의 회전각은 \(6x^\circ\)입니다.
시침은 2시 정각에 \(60^\circ\)의 위치에 있고 1분에 \(0.5^\circ\)씩 움직이므로 시침의 각도는 \(60^\circ + 0.5x^\circ\)입니다.
분침이 시침을 앞질러 수직을 이루므로 두 바늘의 각도 차에 대한 일차방정식은 \(6x - (60 + 0.5x) = 90\)입니다.
좌변을 동류항끼리 묶어 정리하면 \(5.5x - 60 = 90\)이 됩니다.
상수항을 이항하면 \(5.5x = 150\)이고, 분수로 나타내면 \(\dfrac{11}{2}x = 150\)입니다.
양변에 \(\dfrac{2}{11}\)를 곱하면 \(x = \dfrac{300}{11}\)을 얻습니다.
시계의 회전각 공식에 따라 구하는 미지수 \(x\)의 값은 \(\dfrac{300}{11}\)입니다.
되짚어 보면 \(x=\dfrac{300}{11}\)을 대입하여 두 각의 차가 정확히 90°임을 계산 검증할 수 있습니다.
주의 — 시침과 분침이 직각을 이루는 순간은 시침 이전과 이후 두 번 발생하므로 문제의 '앞지른 후' 조건을 확인하여 올바른 방정식을 선택해야 합니다.
한 몫을 k라 하면 AB = 2k, BC = 3k, CD = 4k, AD = 9k 입니다.
MB = k 이고 BP = (1/3) × 3k = k 이므로 MP = MB + BP = 2k = 6 cm 에서 k = 3 cm 입니다.
AD = 9k = 9 × 3 = 27 cm 입니다.
따라서 선분 AD의 길이는 27 cm 입니다.
양 끝 각의 합이 \(180^\circ\) 보다 작아야 두 반직선이 만난다.
\(x + 2x\) < 180 → 3x < 180 → x < 60
또 각이므로 \(x\) > 0 이어야 한다.
따라서 \(x\) 는 1 부터 59 까지의 자연수 — 59개
검산 — \(x\) = 59 이면 두 각의 합이 59 + 118 = 177 로 180 보다 작다 ✓
\(x\) = 60 이면 합이 180 이라 만나지 않는다 ✓
크기가 같은 각의 작도 원리에서 컴퍼스로 그린 원호 위의 점들은 중심으로부터의 거리가 반지름과 같습니다.
점 \(\mathrm{A}\) 를 중심으로 처음 그린 원호의 반지름은 점 \(\mathrm{O}\) 에서 그린 반지름과 같으므로 \(\overline{\mathrm{AQ}}=\overline{\mathrm{OC}}=4\ \mathrm{cm}\) 에서 \(x=4\) 입니다.
점 \(\mathrm{P}\) 를 중심으로 그린 원호의 반지름은 선분 \(\mathrm{CD}\) 의 길이와 같으므로 \(\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{CD}}=3\ \mathrm{cm}\) 에서 \(y=3\) 입니다.
구하는 식에 두 값을 대입하여 계산하면 \(2x+3y=2 \times 4 + 3 \times 3 = 8 + 9 = 17\) 을 얻습니다.
되짚어 보면 반지름 \(x=4\) 와 현의 길이 \(y=3\) 에 대해 \(2 \times 4 + 3 \times 3 = 17\) 로 조건과 정확히 일치함을 확인합니다.
주의 — 각의 크기를 옮길 때 사용한 두 원호의 반지름을 각각 구하면 최종 계산값은 \(17\) 입니다.
자연수 \(k\) 에 대하여 두 정다각형 \(\mathrm{A},\ \mathrm{B}\) 의 변의 개수를 각각 \(3k,\ 4k\) 라 합니다.
정다각형의 한 내각의 크기는 \(180^\circ \times \frac{n - 2}{n}\) 이므로 두 정다각형의 한 내각의 비는 \(\frac{3k - 2}{3k} : \frac{4k - 2}{4k} = 8 : 9\) 입니다.
비례식을 정리하면 \(\frac{3k - 2}{3} \times 9 = \frac{4k - 2}{4} \times 8\) 이므로 \(3(3k - 2) = 2(4k - 2)\) 입니다.
\(9k - 6 = 8k - 4\) 에서 \(k = 2\) 이므로 \(\mathrm{A}\) 는 정육각형(\(n = 6\)), \(\mathrm{B}\) 는 정팔각형(\(n = 8\))입니다.
정육각형의 대각선의 총 개수는 \(\frac{6 \times 3}{2} = 9\) 개, 정팔각형의 대각선의 총 개수는 \(\frac{8 \times 5}{2} = 20\) 개 입니다.
따라서 대각선의 총 개수의 합은 \(9 + 20 = 29\) 입니다.
되짚어 보면 정육각형(내각 \(120^\circ\))과 정팔각형(내각 \(135^\circ\))의 비가 \(120 : 135 = 8 : 9\) 로 성립하며 대각선 수의 합이 \(29\) 로 완전히 일치함을 점검할 수 있습니다.
주의 — 비례식으로부터 k=2를 찾아 두 정다각형을 결정하고 대각선 총수의 합인 \(29\) 를 정확히 계산해야 합니다.
인서가 종이에 적은 말 — “?”
정다각형 \(\mathrm{B}\) 의 변의 개수를 \(n\) 이라 하면, 정다각형 \(\mathrm{A}\) 의 변의 개수는 \(2n\) 입니다.
정다각형 \(\mathrm{B}\) 의 대각선의 총 개수는 \(\frac{n(n - 3)}{2}\) 개, 정다각형 \(\mathrm{A}\) 의 대각선의 총 개수는 \(\frac{2n(2n - 3)}{2} = n(2n - 3)\) 개 입니다.
조건에 의해 \(n(2n - 3) = 5 \times \frac{n(n - 3)}{2}\) 입니다.
\(n > 0\) 이므로 양변을 \(n\) 으로 나누고 \(2\) 를 곱하면 \(2(2n - 3) = 5(n - 3)\) 입니다.
\(4n - 6 = 5n - 15\) 에서 \(n = 9\) 이므로 정다각형 \(\mathrm{A}\) 의 변의 개수는 \(2 \times 9 = 18\), 즉 정십팔각형입니다.
정십팔각형의 한 외각의 크기는 \(\frac{360^\circ}{18} = 20^\circ\) 이므로 한 내각의 크기는 \(180^\circ - 20^\circ = 160^\circ\) 입니다.
따라서 정다각형 \(\mathrm{A}\) 의 한 내각의 크기는 \(160^\circ\) 입니다.
되짚어 보면 \(n = 9\) 일 때 대각선 수가 \(27\) 개와 \(135\) 개로 \(5\) 배가 성립하고 한 내각이 \(160^\circ\) 로 완전히 일치함을 점검할 수 있습니다.
주의 — 대각선 수의 5배 조건으로부터 정십팔각형을 찾고 한 내각 \(160^\circ\) 를 정확히 계산해야 합니다.
평행선 사이의 지그재그 꼭짓점들에 보조선들을 그려 좌우 방향 각도들의 관계식을 도출합니다.
평행선 성질에 의해 왼쪽을 향하는 각들의 총합과 오른쪽을 향하는 각들의 총합은 서로 같음을 이용합니다.
왼쪽을 향하는 각들의 합은 x + 3x = 4x 가 됨을 식으로 세웁니다.
오른쪽을 향하는 각들의 합은 2x + 60 이 됨을 식으로 세웁니다.
좌우 방향의 꺾인 각들의 합 관계식에 따라 4x = 2x + 60 이 됨을 정리합니다.
이 일차방정식 2x = 60 을 풀면 x = 30 이 됨을 도출하며, 왼쪽과 오른쪽으로 꺾이는 각들의 모음 관계를 잘못 분류하지 않도록 주의합니다.
따라서 구하는 각 x의 크기는 30°가 되며, 이 과정에서 보조선옮기기, 각합묶기 및 방정식 활용이 유기적으로 활용되었습니다.
주의 — 구한 값을 물음이 묻는 것과 다시 견주어 보십시오. 도중에 구한 값을 그대로 답으로 쓰기 쉽습니다.
인서가 종이에 적은 말 — “〃 (23번과 같음)”
세 평행선 사이에는 교점이 생기지 않으므로 세 평행선끼리의 교점은 \(0\) 개입니다.
나머지 두 직선 중 첫 번째 직선은 세 평행선과 각각 만나므로 \(3\) 개의 교점이 생깁니다.
두 번째 직선은 세 평행선과 각각 만나 \(3\) 개, 첫 번째 직선과 만나 \(1\) 개의 교점이 생깁니다.
어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않으므로 총 교점의 개수는 \(P = 0 + 3 + 3 + 1 = 7\) 개입니다.
세 평행선에 의해 평면은 \(3+1=4\) 개의 영역으로 나누어집니다.
넷째 직선은 기존의 세 직선과 \(3\) 개의 교점을 가지므로 \(4\) 개의 영역이 추가되어 \(4+4=8\) 개가 됩니다.
다섯째 직선은 기존의 네 직선과 \(4\) 개의 교점을 가지므로 \(5\) 개의 영역이 추가되어 \(8+5=13\) 개가 됩니다. 즉 \(S=13\) 입니다.
따라서 구하는 합은 \(P+S = 7 + 13 = 20\) 입니다.
되짚어 보면 교점의 개수 \(P=7\), 영역의 개수 \(S=13\) 이므로 합은 \(7+13=20\) 으로 맞습니다.
주의 — 직선이 하나씩 추가될 때 생기는 새로운 영역의 개수는 그 직선이 기존 직선들과 만나는 교점의 개수보다 1개 더 많음을 이용해야 합니다.
정육면체의 모서리는 가로·세로·높이 세 방향뿐이다. 같은 방향인 것끼리 묶으면 묶음이 3개 생긴다.
모서리가 \(12\) 개이고 방향이 셋이므로 한 묶음에 12 \(\div\) 3 = 4 개씩 들어간다.
한 묶음 안의 네 모서리는 서로 모두 평행하므로, 그 안에서 두 개를 고르는 쌍이 \(\dfrac{4 \times 3}{2} = 6\) 쌍이다.
묶음이 셋이므로 평행한 쌍은 모두 \(3 \times 6 = 18\) 쌍이다.
이제 \(n\) 각기둥을 보자. 모서리는 밑면 n · 윗면 n · 옆모서리 n 개다.
옆모서리 \(n\) 개는 모두 같은 방향이므로 한 묶음이고, 그 안의 쌍은 \(\dfrac{n(n-1)}{2}\) 쌍이다.
밑면과 윗면은 서로 합동이고 평행하므로, 밑면의 한 변과 윗면의 대응하는 변이 짝을 이룬다. 이 짝만으로 \(n\) 쌍이 생긴다.
여기에 밑면 안에서 서로 평행한 변이 몇 쌍인지가 더해진다. 정\(n\) 각형에서 마주 보는 변이 평행한 것은 n 이 짝수일 때뿐이다.
[\(n\) 이 짝수] 밑면 안에서 평행한 변이 \(\dfrac{n}{2}\)) 쌍 생기고, 윗면도 같으므로 n 쌍이다. 또 밑면의 한 변은 윗면의 그 대응변뿐 아니라 마주 보는 변의 대응변과도 평행하여 n 쌍이 더 생긴다.
모두 더하면 \(\dfrac{n(n-1)}{2} + n + n + n = \dfrac{n(n+5)}{2}\) … 이라 하면 같은 쌍을 두 번 센다. 방향으로 묶어 세는 것이 안전하다.
방향으로 다시 세자. 옆모서리 한 묶음(\(n\) 개)과, 밑면·윗면의 변을 방향별로 묶은 것들이다.
[\(n\) 이 홀수] 밑면의 변은 서로 평행한 것이 없으므로, 각 변은 윗면의 대응변과만 짝이 된다 — 크기 2 인 묶음이 n 개다.
쌍의 수는 \(\dfrac{n(n-1)}{2} + n \times 1 = \dfrac{n(n+1)}{2}\) 이다.
[\(n\) 이 짝수] 밑면의 변이 마주 보는 것끼리 평행하므로, 윗면까지 합쳐 크기 4 인 묶음이 \(\dfrac{n}{2}\) 개다.
쌍의 수는 \(\dfrac{n(n-1)}{2} + \dfrac{n}{2} \times 6 = \dfrac{n(n+5)}{2}\) 이다.
정육면체는 \(n = 4\) 인 경우이므로 \(\dfrac{4 \times 9}{2}\) = 18 쌍 — 앞에서 센 값과 같다. 식이 맞다.
⚠️ 함정은 「밑면의 변과 윗면의 변은 하나씩 짝지어진다」고만 여기는 잘못이다. \(n\) 이 짝수면 밑면 안에서도 평행한 변이 생겨 묶음이 커진다. 이것이 홀짝으로 갈리는 까닭이고, 정n 각형의 대칭이 홀짝에 따라 다르기 때문이다.
직선 \(l\) 이 변 BC 와 평행하고, 변 AB 가 그 둘을 자른다.
이때 \(\angle DAB\) 와 \(\angle\) ABC 는 엇각이다. 자르는 선 AB 의 서로 반대쪽, 두 평행선 사이에 있기 때문이다.
평행선의 엇각은 같으므로 \(\angle DAB = \angle ABC\) 다.
같은 까닭으로 변 \(AC\) 가 두 평행선을 자를 때 \(\angle\) EAC 와 \(\angle\) ACB 도 엇각이라 서로 같다.
이제 점 \(A\) 둘레를 보자. D · A · E 가 한 직선 위에 있으므로 \(\angle\) DAB + \(\angle\) BAC + \(\angle\) EAC = \(180^\circ\) 다.
앞에서 얻은 두 등식을 넣으면 \(\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ\) 가 된다.
이는 삼각형 세 각의 합이 \(180^\circ\) 라는 뜻이다.
마지막 물음이다. 평행선을 긋지 않고 이 결론에 이를 수 있는가.
삼각형 세 각의 합이 \(180^\circ\) 라는 사실은 평행선의 성질에 기대어 있다. 위 논증에서 쓴 것이 정확히 그것뿐이다.
평행선을 긋지 않으면 세 각을 한 줄로 모을 방법이 없다. 다른 증명들도 결국 평행선(또는 그와 같은 뜻인 성질)을 쓴다.
그러므로 평행선 없이는 되지 않는다. 보조선 한 줄이 이 증명의 열쇠다.
⚠️ 함정은 \(\angle DAB\) 를 \(\angle\) ACB 와 짝짓는 잘못이다. 엇각은 자르는 선을 기준으로 정해진다. AB 가 자를 때의 엇각은 B 쪽 각이고, AC 가 자를 때의 엇각이 C 쪽 각이다.
아래 문제들은 선생님이 잘못 만든 것이야. 지금 봐도 풀 수 없어. 그래서 풀이를 주지 않을게. 고쳐서 다시 줄 테니 그때 풀자.
두 변의 길이와 그 끼인각이 주어졌을 때 삼각형을 그리는 작도 순서를 생각합니다.
우선 두 변의 끼인각인 ∠B 와 크기가 같은 각 XBY를 작도하는 (ㄱ) 단계를 먼저 진행합니다.
주어지는 두 변의 길이 a와 c를 미지수 하여 생각합니다.
반직선 BY 위에 컴퍼스를 이용하여 교점 A를 작도하는 보조선 역할을 하는 원호를 그립니다.
마지막으로 두 점 A와 C를 연결하는 (ㄹ) 단계를 거쳐 작도를 마칩니다. 반대 순서로 길이들을 먼저 작도하지 않도록 주의합니다.
따라서 올바른 작도 순서는 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ (또는 ㄱ, ㄷ, ㄴ, ㄹ)이 되며, 기호로 쓰면 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ입니다.
주의 — 구한 값을 물음이 묻는 것과 다시 견주어 보십시오. 도중에 구한 값을 그대로 답으로 쓰기 쉽습니다.
답을 쓴 9문제 가운데 6문제가 정답이야. 아는 것은 확실히 안다는 뜻이야.
삼각기둥의 9개 모서리 중 한 옆모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리는 밑면의 변 2개이므로 a = 2 입니다.
옆모서리와 수직인 면은 위, 아래 두 밑면으로 2개이므로 b = 2 입니다.
따라서 a + b = 2 + 2 = 4 입니다.
(가) 한 평면에 수직인 두 직선은 서로 평행하므로 항상 참입니다. (30점)
(나) 한 평면에 평행한 두 직선은 평행하거나 한 점에서 만나거나 꼬인 위치일 수 있으므로 거짓입니다.
(다) 항상 참입니다. (40점)
따라서 옳은 설명의 배점의 합은 30 + 40 = 70점 입니다.
점 \(\mathrm{A}\)를 좌표 \(0\)이라 하면 \(\mathrm{B}\)는 \(4\), \(\mathrm{C}\)는 \(10\), \(\mathrm{D}\)는 \(15\)이다.
임의의 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{PD}} \ge \overline{\mathrm{AD}}\)이고 등호는 \(\mathrm{P}\)가 선분 \(\mathrm{AD}\) 위에 있을 때 성립한다. 마찬가지로 \(\overline{\mathrm{PB}}+\overline{\mathrm{PC}} \ge \overline{\mathrm{BC}}\)이고 등호는 \(\mathrm{P}\)가 선분 \(\mathrm{BC}\) 위에 있을 때 성립한다.
\(\mathrm{P}\)가 선분 \(\mathrm{BC}\) 위에 있을 때 전체 합은 \(\overline{\mathrm{AD}} + \overline{\mathrm{BC}}\)로 최소이다.
\(\overline{\mathrm{AD}} = 4 + 6 + 5 = 15\,\text{cm}\)이고 \(\overline{\mathrm{BC}} = 6\,\text{cm}\)이므로 최솟값은 \(15 + 6 = 21\,\text{cm}\)이다.
따라서 구하는 최솟값은 \(21\,\text{cm}\)이다.
\(\mathrm{P}=\mathrm{B}\)일 때 \(4 + 0 + 6 + 11 = 21\), \(\mathrm{P}=\mathrm{C}\)일 때 \(10 + 6 + 0 + 5 = 21\)로 항상 \(21\,\text{cm}\)이다.
엇각과 같은 쪽 안쪽 각은 서로 이웃한 각이므로 더해서 180° 다.
\((2x+35)+(x+25)=180\) → 3x+60=180
따라서 \(x\) = 40
검산 — 115° 와 65° 를 더하면 180° ✓
맞꼭지각은 크기가 같으므로 72°
평행하므로 동위각도 같아 72°
따라서 72 + 72 = 144°
⇨ 평행선에서는 같은 값이 계속 옮겨 다닌다.
구하는 다각형의 변의 개수를 \(n\) 이라 하면 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 \(a = n - 3\) 입니다.
다각형의 대각선의 총 개수는 \(b = \frac{n(n - 3)}{2}\) 입니다.
\(b - a = \frac{n(n - 3)}{2} - (n - 3) = \frac{(n - 2)(n - 3)}{2} = 10\) 입니다.
\((n - 2)(n - 3) = 20\) 이므로 연속한 두 자연수의 곱을 고려하면 \(5 \times 4 = 20\) 에서 \(n - 2 = 5\), 즉 \(n = 7\) 입니다.
따라서 이 다각형의 변의 개수는 \(7\) 입니다.
되짚어 보면 \(n = 7\) 일 때 \(a = 4\), \(b = \frac{7 \times 4}{2} = 14\) 이며 \(14 - 4 = 10\) 으로 완전히 일치함을 점검할 수 있습니다.
주의 — 대각선 총 개수 공식과 한 꼭짓점 대각선 수의 관계를 풀어 구하는 답 \(7\) 을 정확히 도출해야 합니다.
선생님 한마디 — 인서야, 네가 못 푼 게 아니라 종이가 잘못돼 있었어. 모르면 모른다고 적고, 이상하면 이상하다고 묻는 그 태도가 수학에서 가장 중요한 힘이야. 그건 이미 네가 갖고 있어. 다음 문제지는 그림 없이 글만 읽고도 풀 수 있게 새로 만들어서 줄게. 고생했다.
— 2026년 9월 16일 · 시험지 [2회 중간대비 30제] 30문제를 그대로 싣고 다시 씀